Question

在x軸的正方向上，從左向右依次取點列 A_j，j=1，2，…，以及在第一象限內的拋物線上從左向右依次取點列B_k，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等邊三角形，其中A是坐標原點，設第n個等邊三角形的邊長為a_n．
（1）求a_n的通項公式
（2）設，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設第n個等邊三角形的邊長為a_n，利用頂點B_n在第n個等邊三角形的在拋物線上，結合B_n的縱坐標為．建立等式化簡得，然后再寫一式，兩式相減得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．從而可求a_n的通項公式；
（2）由已知條件可知，又因為，再求和利用放縮法求證即可．
解答：解：（1）設第n個等邊三角形的邊長為a_n．則第n個等邊三角形的在拋物線上的頂點B_n的坐標為，）．
再從第n個等邊三角形上，我們可得B_n的縱坐標為．
從而有，
即有．
由此可得①
以及②
①-②即得．
變形可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0．
由于a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1．
在①式中取n=1，可得，而a₁≠0，故a₁=1．所以a_n=n
（2）由已知條件可知，
又因為
所以＜＜
點評：本題主要考查數(shù)列的通項及放縮法求證不等式，同時應注意裂項求和法的應用．