Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，點D、E分別是AA₁、CC₁的中點．
（1）求證：AE∥平面BC₁D；
（2）證明：平面BC₁D⊥平面BCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明AEC₁D是平行四邊形．得到AE∥DC₁，然后證明AE∥平面BC₁D．
（2）通過證明BC⊥平面ACC₁A₁，證明BC⊥C₁D，然后證明C₁D⊥DC，DC∩BC=C，推出C₁D⊥平面BCD，然后證明平面BC₁D⊥平面BCD．
解答：（本小題14分）
（1）證明：在矩形ACC₁A₁中，
由C₁E∥AD，C₁E=AD
得AEC₁D是平行四邊形．…（2分）
所以AE∥DC₁，…（4分）
又AE?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，
所以AE∥平面BC₁D…（6分）
（2）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥CC₁，AC⊥BC，CC₁∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，…（8分）
而C₁D?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥C₁D．…（9分）
在矩形ACC₁A₁中，，從而，
所以C₁D⊥DC，…（10分）
又DC∩BC=C，
所以C₁D⊥平面BCD，…（12分）
而C₁D?平面BC₁D，
所以平面BC₁D⊥平面BCD…（14分）
點評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的證明方法，考查判定定理的應用，空間想象能力．