Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ ADE沿直線(xiàn)DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F為線(xiàn)段A′D的中點(diǎn)．

(1)求證：EF//平面A′BC；

(2)求直線(xiàn)A′B與平面A′DE所成角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）要證明線(xiàn)面平行，只要通過(guò)證明線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)得到即可。

（2）

【解析】

試題分析：解：(1)證明：取A′C的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB，則FM∥DC，且FM＝DC.

∵EB∥DC，且EB＝DC，

∴FM∥EB且FM=EB.

∴四邊形EBMF為平行四邊形，

∴EF∥MB.

∵EF平面A′BC，MB平面A′BC，

∴EF∥平面A′BC.                            4分

(2)過(guò)B作BO垂直于DE的延長(zhǎng)線(xiàn)，O為垂足，連結(jié)A′O.

∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，

∴BO⊥平面A′DE，

∴∠BA′O就是直線(xiàn)A′B與平面A′DE所成的角．       7分

過(guò)A′作A′S⊥DE，S為垂足，

因?yàn)槠矫?i>A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE＝DE，

所以A′S⊥平面BCDE.

在Rt△A′SO中，A′S＝，SO＝2，所以A′O＝．

又BO＝，所以tan∠BA′O＝＝＝，

故直線(xiàn)A′B與平面A′DE所成角的正切值為．       10分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定定理

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定定理與線(xiàn)面平行與線(xiàn)線(xiàn)平行的相互轉(zhuǎn)化，還考查了直線(xiàn)與平面所成角的求解，要注意利用已知圖形構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．