(本題滿分14分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°。E為線段AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCD,F(xiàn)為線段A’C的中點(diǎn)。

(Ⅰ)求證:BF∥平面A’DE;

(Ⅱ)設(shè)M為線段DE的中點(diǎn),求直線FM與平面A’DE所成角的余弦值。

解析:本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系,線面角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和推理論證能力。

 (Ⅰ)證明:取A′D的中點(diǎn)G,連結(jié)GF,CE,由條件易知

FGCD,FG=CD.

BECD,BE=CD.

所以FGBE,FG=BE.

故四邊形BEGF為平行四邊形,

所以BF∥EG

因?yàn)?sub>平面,BF平面

所以 BF//平面

(Ⅱ)解:在平行四邊形,ABCD中,設(shè)BC=a

  則AB=CD=2a,  AD=AE=EB=a,

  連CE

  因?yàn)?sub>

在△BCE中,可得CE=a,

在△ADE中,可得DE=a,

在△CDE中,因?yàn)?i>CD2=CE2+DE2,所以CEDE,

在正三角形ADE中,MDE中點(diǎn),所以AMDE.

由平面ADE⊥平面BCD,

可知AM⊥平面BCD,AMCE.

AE的中點(diǎn)N,連線NM、NF,

所以NFDE,NFAM.

因?yàn)?i>DE交AMM,

所以NF⊥平面ADE,

則∠FMN為直線FM與平面ADE新成角.

在Rt△FMN中,NF=a, MN=a, FM=a,

則cos=.

所以直線FM與平面ADE所成角的余弦值為.

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   (2)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時,求證:CF//平面AEB1

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   (1)求證:EF//平面ABC;

   (2)求證:平面平面C1CBB1;

   (3)求異面直線AB與EB1所成的角。

 

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