Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

 ，  x∈R，將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則關(guān)于f（x）•g（x）有下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）
①函數(shù)y=f（x）•g（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）•g（x）不是周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對(duì)稱；
④函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷．①利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．②利用函數(shù)周期性的定義進(jìn)行判斷．③利用函數(shù)對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行判斷．④利用特殊值進(jìn)行判斷．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=sin

x

2

 ，  x∈R，將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），得到函數(shù)g（x）=sinx，
∴m（x）=f（x）•g（x）=sin

x

2

•sinx，
①m（-x）=sin（-

x

2

）•sin（-x）=sin

x

2

•sinx=m（x），∴函數(shù)y=f（x）•g（x）是偶函數(shù)，∴①錯(cuò)誤．
②∵m（x+4π）=sin

x+4π

2

sin（x+4π）=sin

x

2

•sinx=m（x），∴4π是函數(shù)的一個(gè)周期，∴②錯(cuò)誤．
③∵m（x）+m（2π-x）=sin

x

2

•sinx+sin

2π-x

2

•sin（2π-x）=sin

x

2

•sinx-sin

x

2

•sinx=0，∴函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對(duì)稱，∴③正確．
④當(dāng)x=

π

2

時(shí)，m（

π

2

）=sin

π

4

sin

π

2

=

2

2

＞

3

3

，∴函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值不是

3

3

．∴④錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，涉及的知識(shí)點(diǎn)較大．