已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，平行于的切線以為切點(diǎn)，求證：．

（I）在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

(II)(III)略


解析:

（Ⅰ）記，則的定義域?yàn)?img width=47 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/152/158952.gif" >．

當(dāng)時，因，

所以在(0,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．……4分

（Ⅱ）由．

         令．

           當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，且；

           當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，且．

           所以在處取到最大值．

           所以要使與有兩個不同的交點(diǎn)，只需．…………9分

（III）由已知：，所以．

=．

設(shè)得： ．

構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在當(dāng)時是增函數(shù)．

于是，時，，則，得成立．

同理，可證得成立，從而求證成立． ……………………15分

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a+log2x(當(dāng)x≥2時)
x2-4
x-2
(當(dāng)x＜2時)
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-
1
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-
1
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π
2
，
π
2
]時，該函數(shù)的值域是
[-
π
2
，
π
2
]
[-
π
2
，
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2
]
．

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x2-4
x-2
(當(dāng)x＜2時)
在點(diǎn)x=2處連續(xù)，則常數(shù)a的值是
3
3
．

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