Question

在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB

(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PBD；

(Ⅱ)求二面角B－PC－D的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：∵PA⊥平面ABCD 　　∴PA⊥BD　∵ABCD為正方形　∴AC⊥BD 　　∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD內(nèi)，∴平面PAC⊥平面BPD　　6分 　　(Ⅱ)解法一：在平面BCP內(nèi)作BN⊥PC垂足為N，連DN， 　　∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC； 　　∴∠BND為二面角B－PC－D的平面角，在△BND中， 　　BN＝DN＝，BD＝ 　　∴cos∠BND＝　　12分 　　解法二：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系如圖， 　　在平面BCP內(nèi)作BN⊥PC垂足為N連DN， 　　∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；∴∠BND為二面角B－PC－D的平面角 　　設 　　 　　　　10分 　　　　12分 　　解法三：以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間坐標系， 　　作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易證AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC， 　　設 　　 　　 　　∵二面角B－PC－D的平面角與∠MAN互補 　　∴二面角B－PC－D的余弦值為　　12分