Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線方程為，求的值；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（3）設(shè)，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)是，無極大值點(diǎn)；（3）.

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，得到關(guān)于、的一個(gè)方程，再由處的切線方程為得出切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)在曲線上得到關(guān)于、的方程，聯(lián)立關(guān)于、的方程的兩個(gè)方程組即可.

（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義求出即可.

（3）化簡(jiǎn)得由不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，只需，通過討論的范圍，求出即可.

（1）由得

由已知可得：即

（2）

所以：當(dāng)，即時(shí)，在上為增函數(shù)，無極值點(diǎn)

當(dāng)，即時(shí)，

則有：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以，是極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；

綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)是，無極大值點(diǎn)

（3）

由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立

又不等式等價(jià)于：，即

即 ①

①式等價(jià)于

由知，

令，則原不等式即為：

又在上為增函數(shù)

所以，原不等式等價(jià)于：， ②

又②式等價(jià)于，即：

設(shè)，

在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

又

當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)

要使原不等式恒成立，須使，

當(dāng)時(shí)，則在上為減函數(shù)，

要使原不等式恒成立，須使，

時(shí)，原不等式恒成立

綜上可知：的取值范圍是，的最小值為