Question

已知函數(shù)，（為常數(shù)）

（1）當(dāng)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)有對稱中心為A（1，0），求證：函數(shù)的切線在切點處穿過圖象的充要條件是恰為函數(shù)在點A處的切線．（直線穿過曲線是指：直線與曲線有交點，且在交點左右附近曲線在直線異側(cè)）

 

Answer 1

【答案】

（1）實數(shù)的取值范圍是：；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時恒成立恒成立．利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）由已知，函數(shù)關(guān)于A（1，0）對稱，則是奇函數(shù)，由此可求出的值，進而得的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點A處的切線，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，結(jié)合直線穿過曲線定義，證明充分性和必要性．

試題解析：（1）設(shè)，．令：，得或．

所以：當(dāng)，即時，在是增函數(shù)，最小值為，滿足；當(dāng)，即時，在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．所以最小值，故不合題意．所以實數(shù)的取值范圍是：             6分

（2）因為關(guān)于A（1，0）對稱，則是奇函數(shù)，所以，所以 ，則．若為A點處的切線則其方程為：，令，，所以為增函數(shù)，而所以直線穿過函數(shù)的圖象．                         9分

若是函數(shù)圖象在的切線，則方程：，設(shè)，則

，令得：，當(dāng)時：，，從而處取得極大值，而，則當(dāng)時，所以圖象在直線的同側(cè)，所在不能在穿過函數(shù)圖象，所以不合題意，同理可證也不合題意．所以（前面已證）所以即為點．所以原命題成立．                               14分

考點：1．含參數(shù)不等式中的參數(shù)取值范圍問題；2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及最值．