Question

已知x∈[-1，1]，關(guān)于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限個(gè)解，則a的取值是（ ）
A．-或-
B．或-
C．或-或-
D．-或 

Answer 1

【答案】分析：已知x∈[-1，1]，關(guān)于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限個(gè)解，可求tanx∈[-tan1，tan1]，把tanx看成一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和根的判別式，△=0與△＞0，從而進(jìn)行分類討論求解；
解答：解：已知x∈[-1，1]，關(guān)于x的不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限個(gè)解，tanx∈[-tan1，tan1]，
∴令t=tanx∈[-tan1，tan1]，可得f（t）=t²-4at+2+2a，對(duì)稱軸為t=2a，
若△=0，可得△=16a²-8a-8=0解得a=1或-，
當(dāng)a=1時(shí)，f（t）=（t-2）²≤0可得t=2∉[-tan1，tan1]，故a=1舍去；
當(dāng)a=-時(shí)，f（t）=（t-1）²≤0可得t=1∈[-tan1，tan1]，a=-滿足題意；
若△＞0，可得a＞1或a，
對(duì)稱軸t=2a，
當(dāng)a＞1時(shí)，2a＞2，f（t）開口向上，要求f（t）=t²-4at+2+2a，有有限個(gè)解
∴f（tan1）=0，只有一個(gè)解x=tan1，（tan1）²-4atan1+2+2a=0，解得a=＞1滿足題意，
當(dāng)-tan1＜2a＜1時(shí)，f（t）＜0有無數(shù)個(gè)解，不滿足題意；
當(dāng)2a≤-tan1時(shí)，有f（-tan1）=0，可得，（-tan1）²+4atan1+2+2a=0，解得a=-，因?yàn)閠an1=1.557，
∴-2×＞-tan1，不滿足題意；
綜上：a=-或a=，
故選D；
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查根的存在性及其個(gè)數(shù)的判斷，本題不等式tan²x-4atanx+2+2a≤0有有限個(gè)解，說明不可能有無數(shù)個(gè)解，一定會(huì)在端點(diǎn)處取得零點(diǎn)問題，是一道中檔題；