Question

（2013•內江二模）已知函數f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1
（1）用a表示出b，c；
（2）求證：當0＜a≤

1

2

；時，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立；
（3）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義、切線方程即可得出；
（2）令g（x）=f（x）-lnx，通過求導，利用其單調性即可證明；
（3）由（2）可知：當0＜a≤

1

2

；時，ax+

a-1

x

+1-2a≤lnx在（0，1]上恒成立；令a=

1

2

，x=

n

n+1

，則

n

2(n+1)

-

n+1

2n

≤ln

n

n+1

，化為

1

n

+

1

n+1

≥2[ln(n+1)-lnn]．利用“累加求和”即可得出．

解答：（1）解：∵函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，
∴切線的斜率k=1，f（1）=1-1=0，即切點為（1，0），
∵f′(x)=a-

b

x2

，∴f^′（1）=a-b=1．
又f（1）=a+b+c=0，聯立

a-b=1 a+b+c=0

，解得b=a-1，c=1-2a．
∴b=a-1，c=1-2a．
（2）證明：令g（x）=f（x）-lnx，則g′(x)=f′(x)-

1

x

=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

，
令g^′（x）=0，則x=1或

1-a

a

．
∵0＜a≤

1

2

，∴

1-a

a

≥

1

2a

≥1，
∴當x∈（0，1]時，g^′（x）≥0．
∴函數g（x）在區(qū)間（0，1]上單調遞增，∴g（x）≤g（1）=f（1）-ln1=a+b+c-0=0，
∴f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立．
（3）由（2）可知：當0＜a≤

1

2

；時，ax+

a-1

x

+1-2a≤lnx在（0，1]上恒成立；
令a=

1

2

，x=

n

n+1

，則

n

2(n+1)

-

n+1

2n

≤ln

n

n+1

，
化為

1

n

+

1

n+1

≥2[ln(n+1)-lnn]．
∴1+

1

2

≥2(ln2-ln1)，

1

2

+

1

3

≥2(ln3-ln2)，
…

1

n

+

1

n+1

≥2[ln(n+1)-lnn]．
將上面的等式相加得到1+2(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

n+1

≥2ln（n+1）．
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln(n+1)+

1

2

-

1

2(n+1)

，
即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln(n+1)+

n

2(n+1)

．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、切線方程、善于把問題恰當轉化為已經證明的問題是解題的關鍵．