Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當的坐標系，求曲線段C的方程.

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：如圖建立坐標系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點. 依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l2為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點. 設曲線段C的方程為 y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0） 其中xA、xB分別為A、B的橫坐標，p＝|MN|． 所以M（，0），N（，0） 由|AM|＝，|AN|＝3得 （xA＋）2＋2pxA＝17　　　　　　 ① （xA）2＋2pxA＝9　　　　　　   ② 由①②兩式聯(lián)立解得xA＝，再將其代入①式并由p>0 解得或 因為△AMN是銳角三角形，所以＞xA， 故舍去 所以p＝4，xA＝1． 由點B在曲線段C上，得xB＝|BN|＝4． 綜上得曲線段C的方程為y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）． 解法二：如圖建立坐標系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標原點.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分別為E、D、F. 設A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0） 依題意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， yA＝|DM|＝ 由于△AMN為銳角三角形，故有 xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4 xB＝|BF|＝|BN|＝6． 設點P（x，y）是曲線段C上任一點，則由題意知P屬于集合 ｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝ 故曲線段C的方程為y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．