如圖,直線l1和l2相交于點M且l1⊥l2,點N∈l1.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=
17
,|AN|=3,且|BN|=6.
(1)曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分?并建立適當?shù)淖鴺讼担笄段C所在的圓錐曲線的標準方程;
(2)在(1)所建的坐標系下,已知點P(m,n)在曲線段C上,直線l:mx+ny=1,求直線l被圓x2+y2=1截得的弦長的取值范圍.
分析:(1)由題設(shè)知曲線段C是拋物線的一部分.分別以l1、l2為x、y軸,M為坐標原點.作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分別為E、D、F.設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0),依題意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,由此能求出曲線段C的方程.
(2)由點P(m,n)在曲線段C上,知n2=8m(1≤m≤4,n>0),圓x2+y2=1的圓心到直線l:mx+ny=1的距離為d=
1
m2+n2
,則直線l被圓x2+y2=1截得的弦長t=2
1-d2
=2
1-
1
m2+n2
=2
1-
1
m2+8m
,(1≤m≤4),由此能求出直線l被圓x2+y2=1截得的弦長的取值范圍.
解答:解:(1)∵直線l1和l2相交于點M且l1⊥l2,點N∈l1
以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.
△AMN為銳角三角形,|AM|=
17
,|AN|=3,且|BN|=6.
∴曲線段C是拋物線的一部分.
如圖建立坐標系,分別以l1、l2為x、y軸,M為坐標原點.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分別為E、D、F.
設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)
依題意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=
|AM|2-|DA|2
=2
2

由于△AMN為銳角三角形,
故有xN=|ME|+|EN|=|ME|+
|AN|2-|AE|2
=4,
xB=|BF|=|BN|=6.
設(shè)點P(x,y)是曲線段C上任一點,
則由題意知P屬于集合
{(x,y)|(x-xN2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}
故曲線段C的方程為y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
(2)∵點P(m,n)在曲線段C上,
∴n2=8m(1≤m≤4,n>0),
圓x2+y2=1的圓心到直線l:mx+ny=1的距離為d=
1
m2+n2
,
則直線l被圓x2+y2=1截得的弦長
t=2
1-d2
=2
1-
1
m2+n2
=2
1-
1
m2+8m
,(1≤m≤4),
∵1≤m≤4,
∴9≤m2+8m≤48,
8
9
≤1-
1
m2+8m
47
48
,
4
2
3
≤t≤
141
6
,
∴直線l被圓x2+y2=1截得的弦長的取值范圍為[
4
2
3
,
141
6
].
點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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