Question

已知，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若（2a-c）

AB

•

BC

=c

BC

•

CA

（Ⅰ）求∠B的大��；
（Ⅱ）若f（x）=2sin2x•cos

B

2

+2cos2x•sin

B

2

，x∈[-

5π

12

，

π

12

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先利用向量的數(shù)量積和夾角把關(guān)系式進(jìn)行恒等變形，再利用正弦定理和三角誘導(dǎo)公式求出B的大�。�
（Ⅱ）由上步結(jié)論，進(jìn)一步對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，變換成正弦型函數(shù)，再利用定義域求函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，
若（2a-c）

AB

•

BC

=c

BC

•

CA

，
則：（2a-c）accos（180°-B）=abccos（180°-C），
（2a-c）cosB=bcosC，
利用正弦定理：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2cosB=1，
0°＜B＜180°，
B=

π

3

；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論：f（x）=2sin2xcos

B

2

+2cos2x•sin

B

2

=

3

sin2x+cos2x
=2sin(2x+

π

6

)，
由于：x∈[-

5π

12

，

π

12

]，
2x+

π

6

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
sin(2x+

π

6

)∈[-1，

3

2

]，
f（x）∈[-2，

3

]，
所以：f（x）的最大值為：

3

，函數(shù)f（x）的最小值為：-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，向量的數(shù)量積，向量的夾角，正弦定理的應(yīng)用，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．