Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
友情提醒：形如{

1

等差×等差

}的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×100

=

1

2

{(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

99

-

1

100

)}=

99

200

．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于a₃=7，a₅+a₇=26，可得

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁，d，再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

•(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

•(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

，
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．