Question

設(shè)α、β為銳角，且

a

=（sinα，-cosα），

b

=（-cosβ，sinβ），

a

+

b

=（

6

6

，

2

2

），求

a

•

b

和cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：由

a

和

b

的坐標(biāo)，表示出

a

+

b

，由已知

a

+

b

列出關(guān)系式，根據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)相等得出兩個關(guān)系式，把兩關(guān)系式兩邊平方并左右兩邊相加后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出sin（α+β）的值，然后由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡

a

•

b

后，將求出的sin（α+β）的值代入即可求出

a

•

b

的值；由sinα-cosβ的值大于0，移項(xiàng)并利用誘導(dǎo)公式變形后，由α、β均為銳角，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出α+β的范圍，由sin（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求出cos（α+β）的值．

解答：解：∵

a

=（sinα，-cosα），

b

=（-cosβ，sinβ），
∴

a

+

b

=（sinα-cosβ，-cosα+sinβ），又

a

+

b

=（

6

6

，

2

2

），
∴sinα-cosβ=

6

6

，cosα-sinβ=-

2

2

，
∴（sinα-cosβ）²+（cosα-sinβ）²=

2

3

，
整理得：sin²α+cos²β-2sinαcosβ+cos²α+sin²β-2cosαsinβ=2-2（sinαcosβ+cosαsinβ）=

2

3

，
即sin（α+β）=

2

3

，
∴

a

•

b

=-sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-sin（α+β）=-

2

3

；
又sinα-cosβ＞0，即sinα＞sin（

π

2

-β），且α、β均為銳角，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

5

3

．

點(diǎn)評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握法則及公式是解本題的關(guān)鍵，同時注意角度的范圍．