Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F是拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)，M是拋物線(xiàn)C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M，F，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程．

(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）x2＝2y.（2）存在點(diǎn)M(，1)

【解析】(1)依題意知F，圓心Q在線(xiàn)段OF的垂直平分線(xiàn)y＝上．

因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－，所以，即p＝1.

因此拋物線(xiàn)C的方程為x2＝2y.

(2)假設(shè)存在點(diǎn)M (x0＞0)滿(mǎn)足條件，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)斜率為y′|x＝x0＝′|x＝x0＝x0，所以直線(xiàn)MQ的方程為y－＝x0(x－x0)．

令y＝得xQ＝＋.所以Q.

又|QM|＝|OQ|，

故2＋2＝2＋.

因此2＝.

又x0＞0，所以x0＝，此時(shí)M(，1)．

故存在點(diǎn)M(，1)，使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M.