已知△ABC中，AC=1，∠ABC=
2π
3
，設(shè)∠BAC=x，記f（x）=AB．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定義域；
（Ⅱ）D是AB邊的中點，若f(x)=
3
3
，求CD長．
分析：（Ⅰ）由∠ABC與∠BAC的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理表示出∠ACB的度數(shù)，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出AB，即可確定出f（x）的解析式，求出定義域即可；
（Ⅱ）由f（x）的值，以及f（x）解析式求出x的值，確定出三角形為等腰三角形，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出CD的長．
解答：解：（Ⅰ）∵∠ABC=
2π
3
，∠BAC=x，
∴∠ACB=
π
3
-x，
由正弦定理
AC
sin∠ABC
=
AB
sin∠ACB
得：AB=
1×sin(
π
3
-x)
sin
2π
3
=
2
3
3
sin（
π
3
-x），
∴f（x）=
2
3
3
sin（
π
3
-x）（0＜x＜
π
3
）；
（Ⅱ）∵f（x）=
2
3
3
sin（
π
3
-x）=
3
3
，
∴sin（
π
3
-x）=
1
2
，即
π
3
-x=
π
6
，
解得：x=
π
6
，
∴△ABC為等腰三角形，即AB=BC=
3
3
，BD=
1
2
AB=
3
6
，
在△BCD中，利用余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BDcos∠ABC=
1
3
+
1
12
+
1
6
=
7
12
，
則CD=
21
3
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•閔行區(qū)二模）已知△ABC中，AC=2
2
，BC=2，則角A的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D為AB的中點，E，F(xiàn)分別在線段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如圖所示，

（1）求證：E1F∥平面A1BD；
（2）當(dāng)二面角A1-CD-B為直二面角時，是否存在點F，使得直線A1F與平面BCD所成的角為60°，若存在求CF的長，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=
2π
3
．設(shè)∠BAC=x，記f（x）=AB．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及定義域；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=6m•f（x）+1，求實數(shù)m，使函數(shù)g（x）的值域為（1，
3
2
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）已知△ABC中，AC=1，∠ABC=
2π
3
，設(shè)∠BAC=x，并記f(x)=
AB
•
BC
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其定義域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=6mf（x）+1，若函數(shù)g（x）的值域為(1，
5
4
]，試求正實數(shù)m的值．

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