Question

如圖,中,側(cè)棱與底面垂直,,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明:;

（2）求二面角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）利用定義法或向量法求二面角

【解析】

試題分析：

(1)證法一: 連接                    1分

由題意知,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn),

.                               3分

又平面,平面,   5分

平面.                    6分

證法二:取中點(diǎn),連,而 分別為與的中點(diǎn),

,   2分

,, ,

同理可證               4分

又 平面//平面.   5分

平面，平面.     6分

證法三(向量法):以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線

為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

于是

,,

向量是 平面的一個(gè)法向量   2分

，  4分

又                         5分

平面.                 6分

(2)解法一: 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線

為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

于是,,  8分

由(1)知是平面的一個(gè)法向量, .   10分

設(shè)平面的法向量為,,,

,

                12分

設(shè)向量和向量的夾 角為,則

  13分

二面角的的正弦值為  14分

解法二(幾何法):如圖,將幾何體補(bǔ)形成一 個(gè)正方體,連交于點(diǎn),連,

顯然,,都在同一平面上.…………7分

易證,,

平面,平面,

,又

平面.

取中點(diǎn),連,

分別是的中點(diǎn)

,

平面,   …………9分

且為垂足,即平 面,過(guò)點(diǎn)作于,

過(guò)作交于,連,

則即是所求二面角的補(bǔ)角. …………11分

在中,,

,,

在中，,

又

在中，， …………12分

. …………13分

所求二面角的正弦值為 …………14分

考點(diǎn)：本題考查了空間中的線面關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：高考中對(duì)立體幾何解答題的考查一般都體現(xiàn)為一題兩法(同一題兩種解法：傳統(tǒng)法與向量法).而運(yùn)用向量在解決立體幾何問(wèn)題主要集中在法向量的應(yīng)用上，它可以證明空間線面的位置關(guān)系、求解空間角、距離.同時(shí)運(yùn)用空間向量解答立體幾何問(wèn)題，淡化了傳統(tǒng)立體幾何中的“形”的推理方法，強(qiáng)化了代數(shù)運(yùn)算，從而降低了思維難度，且思路明確，過(guò)程較為程序化.