Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，點(diǎn)M，N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）證明：A₁M⊥MC；
（2）證明：MN∥平面A₁ACC₁；
（3）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證法一：先證明AC⊥平面AA₁BB₁，再證明A₁M⊥平面MCA，即可證得A₁M⊥MC；
證法二：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，證明

A1M

•

MC

=0即可；
（2）證法一：利用三角形中位線的性質(zhì)，證明MN∥AC₁，利用線面平行的判定證明MN∥平面A₁ACC₁；
證法二：取A₁B₁中點(diǎn)P，連MP，NP，證明平面MNP∥平面A₁ACC₁，可得MN∥平面A₁ACC₁；
證法三（向量法）：建立空間直角坐標(biāo)系，確定向量

AB

=(2，0，0)是平面A₁ACC₁的一個法向量，證明

AB

•

MN

=0；
（3）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求得

MA1

是平面MCA的一個法向量，平面NMC的法向量

n

=(3，1，-1)，
利用向量的夾角公式，可得結(jié)論；
解法二（幾何法）：將幾何體補(bǔ)形成一個正方體，連DC₁，CD₁交于點(diǎn)O，連B₁A，B₁O，取B₁O中點(diǎn)H，連NH，過H作HQ∥OP交MC于Q，連NQ，則∠NQH即是所求二面角N-MC-A的補(bǔ)角，從而可求二面角N-MC-A的正弦值．

解答：證明：（1）證法一：由題設(shè)知，AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∵AA₁?平面AA₁BB₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A
∴AC⊥平面AA₁BB₁，
∵A₁M?平面AA₁BB₁，∴A₁M⊥AC．…（1分）
又∵四邊形AA₁BB₁為正方形，M為A₁B的中點(diǎn)，∴A₁M⊥MA…（2分）
∵AC∩MA=A，AC?平面MCA，MA?平面MCA
∴A₁M⊥平面MCA…（3分）
又MC?平面MCA…（4分）∴A₁M⊥MC．…（5分）
證法二：（向量法） 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示．…（1分）
于是C（0，2，0），A₁（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（2分）
∴

A1M

=(1，0，-1)，

MC

=(-1，2，-1)…（3分）
∴

A1M

•

MC

=(-1)×1+0×2+(-1)×(-1)=0…（4分）∴A₁M⊥MC．…（5分）
（2）證法一：連接AB₁，AC₁，…（6分）
由題意知，點(diǎn)M，N分別為AB₁和B₁C₁的中點(diǎn)，∴MN∥AC₁．…（7分）
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（9分）
證法二：取A₁B₁中點(diǎn)P，連MP，NP，而M，N
分別為AB₁與B₁C₁的中點(diǎn)，∴MP∥AA₁，MP?平面A₁ACC₁，AA₁?平面A₁ACC₁∴MP∥平面A₁ACC₁，
同理可證NP∥平面A₁ACC₁…（6分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A₁ACC₁．…（7分）
∵M(jìn)N?平面MNP，…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（9分）
證法三（向量法）：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示．于是A（0，0，0），B（2，0，0），M（1，0，1），N（1，1，2）．
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AC∩AA₁=A
∴AB⊥平面A₁ACC₁
∴向量

AB

=(2，0，0)是平面A₁ACC₁的一個法向量    …（6分）
∵

MN

=(0，1，1)
∴

AB

•

MN

=2×0+0×1+0×1=0
∴AB⊥MN…（7分）
又MN?平面A₁ACC₁…（8分）
∴MN∥平面A₁ACC₁…（9分）
（3）解法一：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示．
于是A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2）．…（10分）
由（1）知

MA1

是平面MCA的一個法向量，

MA1

=(-1，0，1)．…（11分）
設(shè)平面NMC的法向量為

n

=(x，y，z)，

MN

=(0，1，1)，

MC

=(-1，2，-1)

n • MN =0 n • MC =0

，∴

y+z=0 -x+2y-z=0

，∴

y=-z x=-3z

∴

n

=(3，1，-1)…（12分）
設(shè)向量

MA1

和向量

n

的夾角為θ，則cosθ=

MA1 • n

| MA1 |•| n |

=

(-1)×3+0×1+1×(-1)

(-1)2+02+12 × 32+12+(-1)2

=-

4

22

…（13分）
∴二面角N-MC-A的正弦值為

1-cos2θ

=

1- 8 11

=

33

11

．…（14分）
解法二（幾何法）：如圖，將幾何體補(bǔ)形成一個正方體，連DC₁，CD₁交于點(diǎn)O，連B₁A，B₁O，顯然，A，M，C，B₁，D₁，O都在同一平面ACB₁D₁上，則B₁O∥MC，C₁O⊥CD₁，
∵B₁D₁⊥平面CC₁DD₁，C₁O?平面CC₁DD₁，
∴C₁O⊥B₁D₁，又B₁D₁∩D₁C=O
∴C₁O⊥平面ACB₁D₁．
取B₁O中點(diǎn)H，連NH，
∵N，H分別是B₁O，B₁C₁的中點(diǎn)
∴NH∥C₁O，∴NH⊥平面ACB₁D₁，…（10分）
且H為垂足，即NH⊥平面AMC，過點(diǎn)O作OP⊥MC于P，
過H作HQ∥OP交MC于Q，連NQ，則∠NQH即是所求二面角N-MC-A的補(bǔ)角．…（11分）
在Rt△MAC中，CM=

AC2+AM2

=

22+( 2 )2

=

6

，sin∠MCA=

AM

MC

=

2

6

=

1

3

，sin∠OCP=sin(

π

2

-∠MCA)=cos∠MCA=

1- 1 3

=

6

3

，
在Rt△OPC中，sin∠OCP=

OP

2

，∴OP=

2

×

6

3

=

2 3

3

∴HQ=OP=

2 3

3

．
又MH=

1

2

C 1O=

2

2

．
∴在Rt△NHQ中，NQ=

NH2+HQ2

=

1 2 + 4 3

=

11

6

，…（12分）
∴sin∠NQH=

NH

NQ

=

2 2

11 6

=

33

11

．…（13分）
∴所求二面角N-MC-A的正弦值為sin(π-∠NQH)=sin∠NQH=

33

11

．…（14分）

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力