Question

（本小題滿分14分）
已知拋物線：和點，若拋物線上存在不同兩點、滿足．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，拋物線上是否存在異于、的點，使得經(jīng)過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解法1：（1）不妨設A，B，且，
∵，∴．
∴，．…………………4分
∵（），即，
∴，即的取值范圍為．…………………6分
（2）當時，由（1）求得.的坐標分別為.．
假設拋物線上存在點（且），…………8分
使得經(jīng)過..三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．
設經(jīng)過..三點的圓的方程為，
則 
整理得．      ①…………9分
∵函數(shù)的導數(shù)為，
∴拋物線在點處的切線的斜率為，
∴經(jīng)過..三點的圓在點處的切線
斜率為．………10分
∵，∴直線的斜率存在．
∵圓心的坐標為，
∴，
即．      ②…………………12分
∵，由①.②消去，得．
即．
∵，∴．
故滿足題設的點存在，其坐標為．…………………14分
解法2：（1）設，兩點的坐標為，且。
∵，可得為的中點，
即．…………………2分
顯然直線與軸不垂直，
設直線的方程為，
即，…………………3分
將代入中，
得． …………………4分
∴ ∴．
故的取值范圍為．     …………………6分
（2）當時，由（1）求得，的坐標分別為．  
假設拋物線上存在點（且），
使得經(jīng)過..三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．
設圓的圓心坐標為，
∵  
∴
即               …………………8分
解得  …………………10分
∵拋物線在點處切線的斜率為，
而，且該切線與垂直，∴．   
即．…………………12分
將，代入上式，
得．
即 
∵且，∴．
故滿足題設的點存在，其坐標為．    …………………14分

略