Question

（2012•包頭一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ae^-x-a，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，證明f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
（Ⅱ）若x∈[0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，可得f′(x)=

ex-(1+x)

ex(1+x)

，構(gòu)造西紅柿g（x）=e^x-1-x，確定g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，從而可得x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞g（0）=0，由此可得x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，得證；
（2）由于函數(shù)的最值不好確定，故進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，考慮f′(x)≥

1+x-a(1+x)

ex(1+x)

=

(1-a)(1+x)

ex(1+x)

，從而當(dāng)1-a≥0，即a≤1時(shí)，對(duì)?x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0；當(dāng)a＞1時(shí)，可得x∈(0，ln(a+

a2-a

))時(shí)，f（x）＜f（0）=0，從而可得a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

1+x

-

a

ex

=

ex-a(1+x)

ex(1+x)

，
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

ex-(1+x)

ex(1+x)

，---------（2分）
令g（x）=e^x-1-x，則g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=e^x-1＞0，所以g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
因此x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞g（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．---------（6分）
（2）由f′(x)=

ex-a(1+x)

ex(1+x)

，
由（1）知，e^x≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0等號(hào)成立．
故f′(x)≥

1+x-a(1+x)

ex(1+x)

=

(1-a)(1+x)

ex(1+x)

，
從而當(dāng)1-a≥0，即a≤1時(shí)，對(duì)x∈[0，+∞），f′（x）≥0，
于是對(duì)?x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0．
由e^x＞1+x（x≠0），得e^-x＞1-x（x≠0），
從而當(dāng)a＞1時(shí)，

f′(x)＜ ex-a+ae-x-a ex(1+x) = e2x-2aex+a e2x(1+x)

=

(ex-a+ a2-a )(ex-a- a2-a ) e2x(1+x)

故當(dāng)x∈(0，ln(a+

a2-a

))時(shí)，f′（x）＜0，
于是當(dāng)x∈(0，ln(a+

a2-a

))時(shí)，f（x）＜f（0）=0，
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．---------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．