Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點
求證：（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）DB₁與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設BC₁交B₁C與E，連接DE，通過證明AC₁與平面B₁CD內(nèi)的直線DE證得，利用三角形中位線性質(zhì)．
（2）取BC中點F，連DF，B₁F，∠DB₁F為DB₁與平面BCC₁B₁所成角．在直角△DB₁F中求解即可．
解答：證明：（1）設BC₁交B₁C與E，連接DE．
∵E，D分別為BC₁，AB的中點，
∴DE∥AC₁，又DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD；
（2）取BC中點F，連DF，B₁F
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴CC₁⊥AC
又AC=3，BC=4，AB=5知AC⊥BC∴AC⊥面BCC₁B₁
又F為BC中點，D為AB中點∴DF∥AC
∴DF⊥面BCC₁B₁
∴DB₁在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影為FB₁
∴DB₁與平面BCC₁B₁的所成角為∠DB₁F．
在RT△FB₁B中，B₁B=4，BF=2，
∴B₁F=2，
又DF=
∴在RT△DFB₁中，tan∠DB₁F===．
點評：本題考查空間直線與直線、直線與平面位置關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．