Question

（本題滿分14分）設(shè)為非負(fù)實數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有三個零點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，，然后對于分段函數(shù)各段的情況分別說明單調(diào)性，整體來合并得到結(jié)論。

（2）當(dāng)時，，

故當(dāng)時，，二次函數(shù)對稱軸，那么結(jié)合二次函數(shù)的 性質(zhì)可知頂點的函數(shù)值為正數(shù)，負(fù)數(shù)，還是零，來確定零點的問題。

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，

① 當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；

② 當(dāng)時，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）（1）當(dāng)時，，函數(shù)的零點為；   

（2）當(dāng)時，，

故當(dāng)時，，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調(diào)遞增，又，f(x)與x軸在有唯一交點；

當(dāng)時，，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；∴，

 當(dāng)，即時，函數(shù)與軸只有唯一交點，即唯一零點，

  當(dāng)，即時，函數(shù)與軸有兩個交點，即兩個零點

 當(dāng)，即時，f(a)<0，函數(shù)與軸有三個交點，即有三個零點

綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有三個零點．

考點：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的零點的運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于參數(shù)的分類討論是否能夠很好的全面的表示出不同情況下的零點，也是該試題一個難點。