Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上的一點(diǎn)，AF₂⊥F₁F₂，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為．

(Ⅰ)證明a＝；

(Ⅱ)求t∈(0，b)使得下述命題成立：設(shè)圓x²＋y²＝t²上任意點(diǎn)M(x₀，y₀)處的切線交橢圓于Q₁，Q₂兩點(diǎn)，則OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點(diǎn)，其中 　　，由于點(diǎn)在橢圓上，有， 　　， 　　解得，從而得到， 　　直線的方程為，整理得 　　． 　　由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即 　　， 　　將代入原式并化簡(jiǎn)得，即． 　　證法二： 同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為， 　　過點(diǎn)作，垂足為，易知，故 　　 　　由橢圓定義得，又，所以 　　， 　　解得，而，得，即． 　　(Ⅱ)解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為． 　　當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組 　　的解．當(dāng)時(shí)，由①式得 　　 　　代入②式，得，即 　　， 　　于是， 　　 　　 　　 　　． 　　若，則 　　． 　　所以，．由，得．在區(qū)間內(nèi)此方程的解為． 　　當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為． 　　另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而． 　　綜上所述，使得所述命題成立．