Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，點D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求平面ADC₁與ABA₁所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接A₁C，交C₁A于E，證明：DE∥A₁B，即可證明A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面ABA₁的一個法向量、平面ADC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面ADC₁與ABA₁所成二面角的平面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接A₁C，交C₁A于E，則E為A₁C的中點，又點D是BC的中點，
所以DE∥A₁B，…（3分）
又DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，故A₁B∥平面ADC₁．          …（5分）
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系A-xyz，

則A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C₁（0，2，4），…（6分）

AC

=（0，2，0）是平面ABA₁的一個法向量，…（7分）
設平面ADC₁的法向量

m

=（x，y，z）．
∵

AD

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，4），
∴

x+y=0 2y+4z=0

．
取z=1，得y=-2，x=2
∴平面ADC₁的法向量

m

=（2，-2，1），…（9分）
平面ADC₁與ABA₁所成的二面角為θ，
∴|cosθ|=|

-4

2×3

|=

2

3

．…（11分）
從而sinθ=

5

3

，即平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值為

5

3

  …（13分）

點評：本題考查線面平行，考查平面ADC₁與ABA₁所成二面角的正弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．