Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=2a_n+n，
（1）求證：{a_n-1}為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項a_n及其前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知S_n=2a_n+n，可得S_n+1=2a_n+1+n+1，兩式相減后構造新數列{a_n-1}，進而根據等比數列定義可得結論．
（2）由（1）可求出數列{a_n-1}的通項，兩邊加1后可得數列{a_n}的通項，結合已知中S_n=2a_n+n可得S_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n+n，…①
∴S_n+1=2a_n+1+n+1，…②
②-①得
a_n+1=2a_n+1-2a_n+1
即a_n+1=2a_n-1
即（a_n+1-1）=2（a_n-1）
∴{a_n-1}為等比數列；
（2）當n=1時，S₁=a₁=2a₁+1，
∴a₁=-1，
∴a₁-1=-2
由（1）可得等比數列{a_n-1}的公比為2
∴a_n-1=-2ⁿ，
∴a_n=1-2ⁿ，
S_n=n+2-2ⁿ⁺¹

點評：本題考查的知識點是等比數列關系的確定，數列求和，其中已知S_n與a_n的關系時，利用S_n+1-S_n=a_n+1對關系式進行變形，是解答的突破口．