Question

如圖所示，某人想制造一個(gè)支架，它由四根金屬桿構(gòu)成，其底端三點(diǎn)均勻地固定在半徑為的圓上（圓在地面上），三點(diǎn)相異且共線，與地面垂直. 現(xiàn)要求點(diǎn)到地面的距離恰為，記用料總長為，設(shè)．

（1）試將表示為的函數(shù)，并注明定義域；

（2）當(dāng)的正弦值是多少時(shí)，用料最��？

 

Answer 1

（1），；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知三點(diǎn)相異且共線，與地面垂直，且三點(diǎn)均勻地固定在半徑為的圓上，所以是全等的直角三角形，從而有，進(jìn)而可得，再由點(diǎn)到地面的距離恰為得；從而由可將Ｌ表示為的函數(shù)；其定義域由圖形可知：，而當(dāng)ＰＨ最短時(shí)角為最大，但由于三點(diǎn)相異，所以小于該最大值，從而求得其定義域；（2）用料最省，即L取得最小值；由（1）的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)方法來求使其取得最小值的的值：先求出L的導(dǎo)函數(shù)，再令其等于零求出對(duì)應(yīng)的的值，再討論函數(shù)的單調(diào)性就可確定的值．

試題解析：（1）因與地面垂直，且，則是全等的直角三角形，又圓的半徑為3，

所以，， 3分

又，所以， 6分

若點(diǎn)重合，則，即，所以，

從而，. 7分

（2）由（1）知，

所以，當(dāng)時(shí)，， 11分

令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以函數(shù)L在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 15分

所以當(dāng)，即時(shí)，L有最小值，此時(shí)用料最省. 16分

考點(diǎn)：１．函數(shù)的應(yīng)用；２．函數(shù)最值．