Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB=90°，AB=2AC．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用平面PAC⊥平面ABC，∠CAB=90°，交線為AC，證明AB⊥平面PAC，可得AB⊥PC；
（Ⅱ）取AP的中點(diǎn)D，連接CD，DB，證明∠CBD為所求線面角，即可求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面PAC⊥平面ABC，∠CAB=90°，交線為AC；
∴AB⊥平面PAC                          
又∵PC?平面PAC，
∴AB⊥PC；
（Ⅱ）取AP的中點(diǎn)D，連接CD，DB．
 則CD⊥PA，
∵AB⊥平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC，
∵平面PAB∩平面PAC=PA，
∴CD⊥平面PAB，則∠CBD為所求線面角；                      …（10分）
由已知不妨設(shè)：AC=1，則CD=

3

2

，AB=2，BC=

5

      …（12分）
∴sin∠CBD=

CD

BC

=

15

10

，
即直線BC與平面PAB所成角的正弦值為

15

10

                  …（14分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．