【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 、 ，短軸兩個端點為 、 ，且四邊形 是邊長為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；
（2）若 、 分別是橢圓長軸的左、右端點，動點 滿足 ，連接 ，交橢圓于點 ．證明： 為定值．
（3）在（2）的條件下，試問 軸上是否存異于點 的定點 ，使得以 為直徑的圓恒過直線 、 的交點，若存在，求出點 的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】
（1）解： ，∴ 橢圓方程為： ．


（2）解：∵ ，∴設 ，則直線 的方程為： ，

，

解設： 或 （舍去），

，∴ ，從而 ，

∴


（3）解：設 ，若以 為直徑的圓過 與 的交點即直線 ，

直線 的斜率 ，直線 的斜率 ，

所以 ，即 ，

∴ ，即


【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合橢圓中a2=b2+c2的關系分別求出a、b的值進而求出橢圓的方程。(2)由已知利用點斜式設出直線MC的方程，聯(lián)立橢圓和直線的方程消去y得到的關于x的方程，解出點P和點M的坐標由向量的數(shù)量積的坐標表示計算即可得到定值為4。(3)根據(jù)題意設出點Q的坐標，利用直徑所對的圓心角為直角得出垂直的關系，再轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積等于零，即可解得Q點的坐標。

【考點精析】掌握橢圓的概念是解答本題的根本，需要知道平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】德國數(shù)學家科拉茨1937年提出一個著名的猜想：任給一個正整數(shù) ，如果 是偶數(shù)，就將它減半（即 ）；如果 是奇數(shù)，則將它乘3加1（即 ），不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明。也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù) （首項）按照上述規(guī)則旅行變換后的第9項為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則 的所有不同值的個數(shù)為 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3 ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）令Cn= 設數(shù)列{cn}的前n項和Tn ， 求T2n ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】條件 ；條件 ：直線 與圓 相切，則 是 的（ ）
A.充分必要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x ， x∈M}，則集合R（M∩N）等于（ ）
A.（﹣∞， ]
B.（ ，1）
C.（﹣∞， ]∪[1，+∞）
D.[1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)的最小值為3，且.

求函數(shù)的解析式；

（2）若偶函數(shù)（其中），那么， 在區(qū)間上是否存在零點？請說明理由.

【答案】（1）（2）存在零點

【解析】試題分析：（1）待定系數(shù)法，己知函數(shù)類型為二次函數(shù)，又知f(-1)=f(3),所以對稱軸是x=1,且函數(shù)最小值f(1)=3,所設函數(shù)，且，代入f(-1)=11，可解a。

（2）由題意可得，代入，由和根的存在性定理， 在區(qū)間（1，2）上存在零點。

試題解析：（1）因為是二次函數(shù)，且

所以二次函數(shù)圖像的對稱軸為．

又的最小值為3，所以可設，且

由，得

所以

（2）由（1）可得，

因為，

所以在區(qū)間（1，2）上存在零點．

【點睛】

（1）對于求己知類型函數(shù)的的解析式，常用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)的表達式形式比較多，有一般式，兩點式，頂點式，由本題所給條件知道對稱軸與頂點坐標，所以設頂點式。

（2）對于判定函數(shù)在否存在零點問題，一般解決此類問題的三步曲是：①先通過觀察函數(shù)圖象再估算出根所在的區(qū)間；②根據(jù)方程根的存在性定理證明根是存在的；③最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)證明根是唯一的.本題給了區(qū)間，可直接用根的存在性定理。

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】《中華人民共和國個人所得稅》規(guī)定，公民月工資、薪金所得不超過3500元的部分不納稅，超過3500元的部分為全月稅所得額，此項稅款按下表分段累計計算：

全月應納稅所得額

稅率

不超過1500元的部分

超過1500元至4500元的部分

超過4500元至9000元的部分

（1）已知張先生的月工資，薪金所得為10000元，問他當月應繳納多少個人所得稅？

（2）設王先生的月工資，薪金所得為，當月應繳納個人所得稅為元，寫出與的函數(shù)關系式；

（3）已知王先生一月份應繳納個人所得稅為303元，那么他當月的工資、薪金所得為多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷當時函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若定義域為，解不等式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某港口水的深度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作y=f（t）.下面是某日水深的數(shù)據(jù)：

t/h

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y/m

10

13

10

7

10

13

10

7

10

經(jīng)長期觀察，y=f（t）的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的（船舶�？繒r，船底只需不碰海底即可）.

（1）求y與t滿足的函數(shù)關系式；

（2）某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同—天內(nèi)安全進出港，請問該船在什么時間段能夠安全進港？它同一天內(nèi)最多能在港內(nèi)停留多少小時？（忽略進 出港所需的時間）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acos A=ccos B+bcos C．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面積．

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