Question

（2010•成都一模）如圖，設(shè)A、B、C是球O面上的三點，我們把大圓的劣弧

BC

、

CA

、

AB

在球面上圍成的部分叫做球面三角形，記作球面三角形ABC，在球面三角形ABC中，OA=1，設(shè)

BC

=a，

CA

=b，

AB

=c，a，b．c∈(0，π)，二面角B-OA-C、
C-OB-A、A-OC-B的大小分別為α、β、γ，給出下列命題：
①若α=β=γ=

π

2

，則球面三角形ABC的面積為

π

2

；
②若a=b=c=

π

3

，則四面體OABC的側(cè)面積為

π

2

；
③圓弧

AB

在點A處的切線l₁與圓弧

CA

在點A處的切線l₂的夾角等于a；
④若a=b，則α=β．
其中你認為正確的所有命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：由α=β=γ=

π

2

，知球面三角形ABC是

1

8

球體，故球面三角形ABC的面積=

1

8

×4π×12=

π

2

；由a=b=c=

π

3

，知四面體OABC的面積=3×

1

2

×1×

π

3

=

π

2

，；圓弧

AB

在點A處的切線l₁在OAB面上與OA垂直，圓弧

CA

在點A處的切線l₂在OAC面上與OA垂直，故l₁與l₂夾角等于α；若a=b，則α=β．

解答：解：∵α=β=γ=

π

2

，
∴球面三角形ABC是

1

8

球體，
∴球面三角形ABC的面積=

1

8

×4π×12=

π

2

．
故①正確；
∵a=b=c=

π

3

，
∴四面體OABC的側(cè)面積=3×

1

2

×1×

π

3

=

π

2

，
故②正確；
∵圓弧

AB

在點A處的切線l₁在OAB面上與OA垂直，
圓弧

CA

在點A處的切線l₂在OAC面上與OA垂直，
∴l(xiāng)₁與l₂夾角等于α，不一定等于a，
故③不正確；
若a=b，由圖形的對稱性知，α=β．故④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查球面三角形的概率和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，熟練掌握球球面三角形的性質(zhì)和應(yīng)用．