Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，求f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于正實數(shù)a的不等式問題即可求出正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，進而求出其在上的單調(diào)性即可求f（x）在上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=+lnx，
∴f'（x）=   （a＞0）
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)
∴f'（x）=≥0對 x∈[1，+∞）恒成立 
∴ax-1≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立 
∴a≥，對x∈[1，+∞）恒成立 
∴a≥1．
（Ⅱ）當a=1時，f'（x）=．
當x∈[，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上單調(diào)遞減；
當x∈[1，2]時，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）在x∈[，2]上有唯一極小值點，
故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
∵f（）=1-ln2，f（2）=-+ln2，f（）-f（2）=-2ln2=．
∵e³＞16，∴f（）-f（2）＞0⇒f（）＞f（2）．（10分）
∴f（x）在區(qū)間[，2]上的最大值f（x）=f（）=1-ln2．
綜上可知，函數(shù)f（x）在上的最大值是1-ln2，最小值是0．
點評：本題第二問考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．