Question

平面向量

a

，

b

中，|

a

|≠0，

b

=t

a

（t∈R）．對于使命題“?t＞1，|

c

-

b

|≥|

c

-

a

|”為真的非零向量

c

，給出下列命題：
①?t＞1，（

c

-

a

）•（ 

b

-

a

）≤0；    ②?t＞1，（ 

c

-

a

）•（

b

-

a

）＞0；
③?t∈R，（

c

-

a

）•（ 

c

-

b

）＜0；   ④?t∈R，（

c

-

a

）•（

c

-

b

）＜0．
則以上四個(gè)命題中的真命題是（　�。�

• A、①④
• B、②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：閱讀型,平面向量及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：運(yùn)用排除法，由①②互為否定關(guān)系，必然一真一假，排除選項(xiàng)C．③④為包含關(guān)系，③真，④必為真，只能選D，若③假，只能選A，故只需探討③的真假，特殊化取

a

=（1，0），則

b

=（t，0），設(shè)

c

=（x，y），運(yùn)用向量的模的公式和不等式恒成立，求得x≤1．即可判斷③假．進(jìn)而得到答案．

解答： 解：由①②互為否定關(guān)系，必然一真一假，排除選項(xiàng)C．
③④為包含關(guān)系，③真，④必為真，只能選D，若③假，只能選A，
故只需探討③的真假，特殊化取

a

=（1，0），則

b

=（t，0），設(shè)

c

=（x，y），
由|

c

-

b

|≥|

c

-

a

|得（x-t）²+y²≥（x-1）²+y²，化簡得x≤

t+1

2

（t＞1），
由t＞1得

t+1

2

＞1，則命題“?t＞1，|

c

-

b

|≥|

c

-

a

|”等價(jià)于x≤1．
由于（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=（x-1）（t-1）+y²且y，x，t是獨(dú)立變量，則有③假．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查簡易邏輯的知識，主要考查不等式的恒成立思想轉(zhuǎn)化為求最值問題，運(yùn)用排除法和命題之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．