Question

已知數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=9-6n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)bn=n(3-log2

|an|

3

)，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=9-6n求出數(shù)列{2^n-1•a_n}的通項(xiàng)公式，再計(jì)算數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)bn=n(3-log2

|an|

3

)，以及（1）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{

1

bn

}的通項(xiàng)公式，最后利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）n=1時(shí)，2⁰•a₁=S₁=3∴a₁=3
n≥2時(shí)，2^n-1•a_n=S_n-S_n-1=-6∴an=

-3

2n-2

∴通項(xiàng)公式an=

3        n=1 -3 2n-2     n≥2

（2）當(dāng)n=1時(shí)，b1=3-log2

3

3

=3∴

1

b1

=

1

3

n≥2時(shí)，bn=n(3-log2

3

3•2n-2

)=n(n+1)
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=

1

3

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

5

6

-

1

n+1

=

5n-1

6(n+1)

點(diǎn)評：本題考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．