Question

已知數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=9-6n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=n（3-log₂

|an|

3

），設(shè)數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*均有T_n＞

m

27

成立．若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用2^n-1•a_n=S_n-S_n-1，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{

1

bn

}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，n≥2時(shí)，2^n-1•a_n=S_n-S_n-1=（9-6n）-（15-6n）=-6
∴a_n=-6•2^1-n；
n=1時(shí)，a₁=3，∴a_n=

3，n=1 -6•21-n，n≥2

；
（2）b_n=n（3-log₂

|an|

3

）=n（n+1）
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∵對(duì)任意n∈N^*均有T_n＞

m

27

成立
∴

1

2

＞

m

27

∴m＜

27

2

∴m的最大整數(shù)為13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．