Question

如圖，把邊長為10的正六邊形紙板剪去相同的六個角，做成一個底面為正六邊形的無蓋六棱柱盒子，設其高為h，體積為V（不計接縫）．
（Ⅰ）求出體積V與高h的函數(shù)關系式并指出其定義域；
（Ⅱ）問當h為多少時，體積V最大？最大值是多少？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,基本不等式

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）求出六棱柱的底邊長、底面積，可得體積V與高h的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）利用導數(shù)法，可求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，六棱柱的底邊長為10-

2 3

3

h，（1分）
底面積為6•

3

4

(10-

2 3

3

h)2（3分）
由10-

2 3

3

h＞0及h＞0得0＜h＜5

3

∴體積V=

3 3

2

(10-

2 3

3

h)2•h=2

3

(h3-10

3

h2+75h)，
其定義域為(0，5

3

)（6分）
（Ⅱ）由V′=2

3

(3h2-20

3

h+75)=0
得h=

5 3

3

或h=5

3

（舍去）  （8分）
∵0＜h＜

5 3

3

時，V′＞0；

5 3

3

＜h＜5

3

時，V′＜0．（10分）
∴當h=

5 3

3

時V有最大值

1000

3

．（12分）

點評：本題考查體積的計算，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，正確運用導數(shù)法是關鍵．