Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，P為的中點．

（1）證明：平面；

（2）設E為BC的中點，線段上是否存在一點Q，使得平面？若存在，求四棱錐的體積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）設交于點O，要證明平面，只需證明，即可；

（2）利用線面平行的判定定理可得當Q為中點，即點Q與點O重合時，∥平面，，只需求出即可.

（1）證明：在中，

∵，，，

∴，

又直三梭柱中，，則為正方形，

設交于點O，則O為的中點，且．

連接PA，，PO，

∵側棱底面ABC，P為的中點，則

，

，

故．

∴，

∵，且PO，平面，

∴平面．

（2）當Q為中點，即點Q與點O重合時，∥平面．

理出如下：

連接，∵E為BC的中點，∴則∥

∵平面，平面，

∴∥平面．

此時，Q到平面的距離等于B到平面的距離的一半，

又，，，所以平面，

所以，

∴．