Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，在數(shù)列{b_n}中，b₁=2，且b_n=2b_n-1-1，（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)Tn=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+

a3

b3-1

+…+

an

bn-1

，證明對?n∈N^*，T_n＜6都成立．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列通項公式，求得首項和公差即可；求數(shù)列{b_n}時，構(gòu)造等比數(shù)列求解．
（2）由（1）表示出T_n觀察其結(jié)構(gòu)，是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項積的形式，用錯位相減法求解．

解答：解：（1）由a₁=1，a₅=a₁+4d=9，
得d=2
∴由等差數(shù)列通項公式得：a_n=2n-1
由b_n=2b_n-1-1可變形為：b_n-1=2（b_n-1-1）
∴{b_n-1}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列
∴b_n=2^n-1+1．
（2）由（1）可知Tn=1+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n-1

兩邊同乘以

1

2

得：

1

2

Tn=

1

2

+

3

23

+

5

24

+

7

25

+…+

2n-1

2n

兩式相減整理得：Tn=6-

2n+3

2n-1

＜6，從而得證．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，構(gòu)造等比數(shù)列，用錯位相減法求數(shù)列前n項和問題．