Question

（本小題滿分13分）已知數列{a_n}，定義（n∈N₊）是數列{a_n}的倒均數．    （1）若數列{a_n}的倒均數是，求數列{a_n}的通項公式；（2）若等比數列{b_n}的首項為–1，公比為q =，其倒均數為V_n，問是否存在正整數m，使得當n≥m(n∈N₊)時，V_n<–16恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  m = 7．

解析:

（1）由得   ①………1分

       當n = 1時，，∴a₁ = 1．……2分

       當n≥2時，   ②

       ① – ②得，即，∴………分

       （2）b_n =,

       ……8分

       令V_n<–16得． 即n，．

       當n = 6時，2⁶ <16×6 +1，當n = 7時，2⁷ = 128，16×7 + 1 = 113，2⁷>16×7 + 1．

       下面證當n≥7(n∈N₊)時，成立．…10分

       1°當n = 7時，已證；  2°假設當n = k時，2^k>16k + 1成立，

       當n = k + 1時，=16k + 16k + 2 >16k + 16 +1 = 16(k + 1) + 1

       這就是說，當n = k + 1時，結論也成立．

       由1°，2°可知，當n≥7時，2ⁿ>16n + 1成立．故m的最小值為m = 7．

       此題也可用導數法證對成立．………13分