Question

【題目】若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足對(duì)一切恒成立，則稱為“可控?cái)?shù)列”.

(1) 若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“可控?cái)?shù)列”？并說明理由；

(2) 若是首項(xiàng)為5的“可控?cái)?shù)列”，且單調(diào)遞減，問是否存在常數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3) 若“可控?cái)?shù)列”的首項(xiàng)為2，，求不同取值的個(gè)數(shù)及最大值.(直接寫出結(jié)果)

Answer 1

【答案】(1) 為“可控?cái)?shù)列”; (2) ;(3) 的不同取值個(gè)數(shù)是2018，最大值為2019

【解析】

（1）依據(jù)定義驗(yàn)證即可.

（2）利用為可控?cái)?shù)列且單調(diào)遞減得到，再利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)為，分別討論和時(shí)的極限后可得的大小.

（3）當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)， 最大且最大值為，當(dāng)為遞減數(shù)列時(shí)，最小且最小值值為，又必為奇數(shù)，故不同的取值個(gè)數(shù)為2018.

(1) ，.故為“可控?cái)?shù)列”.

(2) 假設(shè)存在常數(shù)滿足題意.

由是單調(diào)遞減的“可控?cái)?shù)列”，得.

累加，得.

當(dāng)時(shí)，，不合題意.

當(dāng)時(shí)，，.

令，得.

故的值為.

(3) 的不同取值個(gè)數(shù)是2018，最大值為2019.