Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足：

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a4+a5)

=1，公差d∈（-1，0），若當(dāng)且僅當(dāng)n=9時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取最大值，則首項a₁的取值范圍為

（

4π

3

，

3π

2

）

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡已知的等式，根據(jù)公差d的范圍求出公差的值，代入前n項和公式后利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍求解首項a₁取值范圍．

解答：解：由

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a4+a5)

=1，
得：

-cos2a3+(cosa3cosa6-sina3sina6)(cosa3cosa6+sina3sina6)

sin(a4+a5)

=1，
即

-cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6)

sin(a4+a5)

=1，
由積化和差公式得：

1 2 cos2a3+ 1 2 cos2a6-cos2a3

sin(a4+a5)

=1，
整理得：

1 2 (cos2a6-cos2a3)

sin(a4+a5)

=1，
∴

1 2 ×(-2)sin(a6+a3)sin(a6-a3)

sin(a4+a5)

-1，
∴sin（3d）=-1．
∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），
則3d=-

π

2

，d=-

π

6

．
由Sn=na1+

n(n-1)d

2

=na1+

n(n-1)•(- π 6 )

2

=-

π

12

n2+(a1+

π

12

)n．
對稱軸方程為n=

6

π

(a1+

π

12

)，
由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=9時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，
∴

17

2

＜

6

π

(a1+

π

12

)＜

19

2

，解得：

4π

3

＜a1＜

3π

2

．
∴首項a₁的取值范圍是（

4π

3

，

3π

2

）．
故答案為（

4π

3

，

3π

2

）．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了二次函數(shù)取得最值得條件，考查了計算能力，是中檔題．