Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，記數(shù)列的前n項和為S_n，若對n∈N₊恒成立，則正整數(shù)m的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題干中的等式變形得出數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，得出{}的通項公式，證明數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，得出數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項，再由S_2n+1-S_n≤，求出正整數(shù)得m的最小值．
解答：解：在等差數(shù)列{a_n}中，∵a₂=5，a₆=21，
∴，
解得a₁=1，d=4，
∴==，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（++…+）-（++…+）
=--
=--
=（-）+（-）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=+=，
∵≤，∴m≥，
又∵m是正整數(shù)，
∴m的最小值為5．
故答案為：5．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的結(jié)合問題，難度之一為結(jié)合已知和要求的式子，觀察出數(shù)列是等差或等比數(shù)列；難度之二求數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，證數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，證明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．是解題的關(guān)鍵．