Question

已知在長方體中，點為棱上任意一點，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若點為棱的中點，點為棱的中點，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求證：平面平面，證明兩個平面垂直，只需證明一個平面過另一個平面的垂線即可，由長方體的性質(zhì)，易證平面，從而可證平面平面；（Ⅱ）若點為棱的中點，點為棱的中點，求二面角的余弦值，求二面角問題，可用傳統(tǒng)方法，找二面角的平面角，但本題不易找，另一種方法，用向量法，本題因為是長方體，容易建立空間坐標系，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，分別設(shè)出兩個平面的法向量，利用向量的運算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）為正方形                       2分

平面                          4分

又，平面   平面平面       6分

（Ⅱ）建立以為軸，以為軸，以為軸的空間直角坐標系     7分

設(shè)平面的法向量為，

                     9分

設(shè)平面的法向量為，

                       11分

                              13分

二面角的余弦值為                      14分

考點：面面垂直，二面角．