Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且-1，S_n，a_n+1成等差數(shù)列，n∈N^*，a₁=1．函數(shù)f（x）=log₃^x．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較T_n與-的大�。�

Answer 1

解：（I）∵-1，S_n，a_n+1成等差數(shù)列，
∴2S_n=a_n+1-1①
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1②．
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，
∴=3．
當(dāng)n=1時(shí)，由①得2S₁=2a₁=a₂-1，又a₁=1，
∴a₂=3，故=3．
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1…（7分）
（II）∵f（x）=log₃^x，
∴f（a_n）=log₃a_n==n-1，
b_n===（-），
∴T_n=[（-）+（-）+…+（-）]
=（+--）
=-…（9分）
比較T_n與-的大小，只需比較2（n+2）（n+3）與312 的大小即可．…（10分）
2（n+2）（n+3）-312=2（n²+5n+6-156）=2（n²+5n+-150）=2（n+15）（n-10），
∵n∈N^*，
∴當(dāng)1≤n≤9時(shí)，2（n+2）（n+3）＜312，即T_n＜-；
當(dāng)n=10時(shí)，2（n+2）（n+3）=312，即T_n=-；
當(dāng)n＞10且n∈N^*時(shí)，2（n+2）（n+3）＞312，即T_n＞-．…（14分）
分析：（I）依題意可求得=3（ n≥2），再由2S₁=2a₁=a₂-1，a₁=1即可求得{a_n}是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）依題意可求得b_n=（-），利用累加法可求得T_n，從而通過分類討論即可比較T_n與-的大�。�
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，突出考查裂項(xiàng)法求和，著重考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．