Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求直線AB與平面CBF所成角的大��；
（Ⅲ）當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°？

Answer 1

【答案】（I）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．
（II）解：根據(jù)（Ⅰ）的證明，有AF⊥平面CBF，
∴FB為AB在平面CBF內(nèi)的射影，因此，∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角
∵AB∥EF，∴四邊形ABEF為等腰梯形，
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，則 ．
在Rt△AFB中，根據(jù)射影定理AF2=AHAB，得AF=1
∴ ，∴∠ABF=30°．
∴直線AB與平面CBF所成角的大小為30°．
（Ⅲ）解：設(shè)EF中點(diǎn)為G，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OG、AD方向分別為x軸、y軸、z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．
設(shè)AD=t（t＞0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0，t），則 C（﹣1，0，t），
∴
設(shè)平面DCF的法向量為 ，則 ， ，即
令 ，解得x=0，y=2t，∴
由（I）可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一個(gè)法向量為 ，
依題意 與 的夾角為60°，∴ ，即 ，解得
因此，當(dāng)AD的長(zhǎng)為 時(shí)，平面與DFC平面FCB所成的銳二面角的大小為60°．

【解析】（I）利用面面垂直的性質(zhì)，可得CB⊥平面ABEF，再利用線面垂直的判定，證明AF⊥平面CBF，從而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；（II）確定∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB，交AB于H，計(jì)算出AF，即可求得直線AB與平面CBF所成角的大��；（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DCF的法向量 ，平面CBF的一個(gè)法向量 ，利用向量的夾角公式，即可求得AD的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．