Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)an=1+

1

n

（n∈N^*），求證：3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為增函數(shù)，所以f′（x）大于等于0恒成立，解出a小于等于一個(gè)函數(shù)，求出這個(gè)函利用基本不等式求出此函數(shù)的最小值即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）令a=3化簡(jiǎn)f（x），求出f′（x），因?yàn)楫?dāng)x大于1時(shí)導(dǎo)函數(shù)大于0，所以函數(shù)在大于1時(shí)為增函數(shù)，所以由1+

1

n

大于1得到f（1+

1

n

）大于f（1），分別表示出代入化簡(jiǎn)后得到3(1+

1

n

)-(1+

1

n

)2＜2+ln(1+

1

n

)即3an-

a

n 2

＜2+ln(1+

1

n

)，列舉出各項(xiàng)即可得證．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax?（x＞0），則f′(x)=

1

x

+2x-a（x＞0）．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．即

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
所以

1

x

+2x≥a．
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，

1

x

+2x≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=2x，即x=

2

2

時(shí)等號(hào)成立．
所以a≤2

2

時(shí)．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：(-∞，2

2

]．

（Ⅱ）令a=3，則f（x）=lnx+x²-3x．f′(x)=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以f(1+

1

n

)＞f(1)=-2．
所以ln(1+

1

n

)+(1+

1

n

)2-3(1+

1

n

)＞-2．
所以3(1+

1

n

)-(1+

1

n

)2＜2+ln(1+

1

n

)．
即3an-

a

2 n

＜2+ln(1+

1

n

)．
所以3a₁-a₁²＜2+ln（1+1），3a2-

a

2 2

＜2+ln(1+

1

2

)，3a3-

a

2 3

＜2+ln(1+

1

3

)，
3an-

a

2 n

＜2+ln(1+

1

n

)．
所以3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²=（3a₁-a₁²）+（3a₂-a₂²）+…+（3a_n-a_n²）＜(2+ln

2

1

)+(2+ln

3

2

)+…+(2+ln

n+1

n

)＜2n+ln（n+1）．
故所證不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，是一道中檔題．