Question

在(x2-

1

2x

)9的展開式中，求：
（1）第6項(xiàng)；  
（2）第3項(xiàng)的系數(shù)；
（3）常數(shù)項(xiàng)； 
（4）展開式中的所有二項(xiàng)式的系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和的比．

Answer 1

分析：（1）求出展開式的通項(xiàng)公式T_r+1=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r，由此求出第6項(xiàng)為T₆．
（2）由通項(xiàng)公式求出第3項(xiàng)的系數(shù)為（-1）²2^-2•C₉²．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常數(shù)項(xiàng)為 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=

21

16

．
（4）展開式中的所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為2⁹，令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)和為(

1

2

)9，由此求得有二項(xiàng)式的系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和的比．

解答：解：（1）展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=C₉^r （-1）^r x^18-2r （2x）^-r=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r．
故第6項(xiàng)為 T₆=（-1）⁵2^-5•C₉⁵•x³=-

63

16

 x³．
（2）由通項(xiàng)公式求出第3項(xiàng)的系數(shù)為（-1）²2^-2•C₉²=9．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常數(shù)項(xiàng)為 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=

21

16

．
（4）展開式中的所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為C₉⁰+C₉¹+C₉²+…+C₉⁹=2⁹．
令x=1可得各項(xiàng)系數(shù)和為(

1

2

)9，故展開式中的所有二項(xiàng)式的系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和的比

29

( 1 2 )9

=2¹⁸．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，注意所有二項(xiàng)式的系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和 之間的區(qū)別．