Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3n²+5n，在數(shù)列{b_n}中，b₁=8且64b_n+1-b_n=0，是否存在常數(shù)c，使對任意的正整數(shù)n，a_n+log_cb_n恒為常數(shù)m，若存在，求常數(shù)c和m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：利用數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3n²+5n，數(shù)列{b_n}中，b₁=8且64b_n+1-b_n=0，求出通項公式，化簡a_n+log_cb_n的表達式，通過它為常數(shù)，推出m，c的值．

解答：解：c=2，m=11滿足條件，證明如下
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=8-----------------（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=6n+2----（3分）
又n=1時滿足上式，故a_n=6n+2，
又∵b₁=8，64b_n+1-b_n=0
∴{b_n}是以8為首項

1

64

為公比的等比數(shù)列
∴bn=(

1

8

)2n-3---------------------------（6分）
∴a_n+

log

bn c

=6n+2+

log	( 1 8 )2n-3 c

=6n+2+（2n-3）

log

1 8 c

=（6+2

log

1 8 c

）n+（2-3

log

1 8 c

）
∵a_n+log_cb_n=m對任意n∈N^*恒成立，
∴

6+2 log 1 8 c =0 2-3 log 1 8 c =m

      
 解得

c=2 m=11

----------（12分）
故c=2，m=11滿足條件．-------（13分）．

點評：本題考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求解通項公式的求法，恒成立體積的應(yīng)用，考查計算能力．