Question

如圖所示，f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]（c＞0）上的奇函數(shù)，令g（x）=af（x）+b，并有關(guān)于函數(shù)g（x）的四個論斷：
①若a＞0，對于[-1，1]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②函數(shù)g（x）是奇函數(shù)的充要條件是b=0；
③任意a∈R，g（x）的導函數(shù)g′（x）有兩個零點；
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數(shù)根；
其中，所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的零點

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①利用函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)與（割線）切線斜率的關(guān)系即可得出；
②利用奇函數(shù)的定義即可得出；
③由于g（x）的導函數(shù)g′（x）=af′（x），先研究f′（x）零點的個數(shù)即可；
④由于a≥1，b＜0，方程g（x）=0可化為f(x)=

-b

a

＞0，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

-b

a

圖象的交點個數(shù)即可．

解答： 解：①由函數(shù)f（x）的圖象可知：當x∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0，（只有x=±1，0時取等號），對于[-1，1]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

=

af(n)+b-[af(m)+b]

n-m

=

a(f(n)-f(m))

n-m

．
由中值定理可得：?ξ∈（-1，1），使得af′（ξ）=

a(f(n)-f(m))

n-m

≥0，
∵a＞0，∴

f(n)-f(m)

n-m

≥0，而m＜n，故等號不成立，∴

f(n)-f(m)

n-m

＞0．
②∵f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]（c＞0）上的奇函數(shù)，∴f（-x）+f（x）=0．
∵函數(shù)g（x）是奇函數(shù)?g（-x）+g（x）=0（x∈[-c，c]）?a[f（-x）+f（x）]+2b=0?2b=0?b=0．
因此函數(shù)g（x）是奇函數(shù)的充要條件是b=0，正確；
③由函數(shù)f（x）的圖象可知：當x∈[-c，-1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f′（x）＜0；在x=-1時函數(shù)f（x）取得極小值，可得f′（-1）=0；當x∈（-1，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f′（x）＞0；在x=1時函數(shù)f（x）取得極大值，可得f′（1）=0；當x∈（1，c]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，∴f′（x）＜0．
當a≠0時，g（x）的導函數(shù)g′（x）=af′（x）必有兩個零點；
當a=0時，對?x∈[-c，c]，都有g(shù)′（x）=0，此時有無數(shù)個零點．
因此③不正確．
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0化為f(x)=

-b

a

＞0，畫出函數(shù)y=

-b

a

．由圖象可知：當

-b

a

＞f(-c)時，函數(shù)y=f（x）與y=

-b

a

的圖象至多有兩個交點，因此方程g（x）=0必有3個實數(shù)根是錯誤的．
綜上可知：只有①②正確．
故答案為：①②．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值、方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)、奇函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．