如圖，已知橢圓C：的長軸AB長為4，離心率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上；
（3）試判斷直線QN與圓O的位置關(guān)系．

【答案】分析：（1）由題設(shè)可得，由此能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x，y），則．由HP=PQ，知Q（x，2y）．．所以Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
（3）設(shè)P（x，y）（x≠±2），則Q（x，2y），且．所以直線AQ的方程為．令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，所以，，．由此能導(dǎo)出直線QN與圓O相切．
解答：解：（1）由題設(shè)可得，
解得，∴b=1．
∴橢圓C的方程為．
（2）設(shè)P（x，y），則．
∵HP=PQ，∴Q（x，2y）．∴．
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
（3）設(shè)P（x，y）（x≠±2），則Q（x，2y），且．
又A（-2，0），∴直線AQ的方程為．
令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴．
∴，．
∴=x（x-2）+x（2-x）=0．
∴．∴直線QN與圓O相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為
3
2
，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF1F2的周長為4+2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記
MQ
=λ
QN
，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得
MR
=-λ
RN
，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東臨沂高三5月高考模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，的周長為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn)R，使得，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求該定直線的方程.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇五校高三下學(xué)期期初教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點(diǎn)M、N.

（1）設(shè)直線AP、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

（2）求線段MN長的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年遼寧省本溪一中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：的離心率為，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

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